दो घन बहुपदों का विभाजन क्षेत्र कब मेल खाता है?

$\newcommand{\Kbar}{{\overline K}} $मान लीजिए $K$ एक निश्चित बीजगणितीय समापन $\Kbar$ वाला फ़ील्ड है। मान लीजिए $L/K$, गैलोज़ समूह $S_3$ के साथ $\Kbar$ में $6$ डिग्री का गैलोज़ विस्तार है (तीन प्रतीकों पर सममित समूह)। इस उत्तर से फ़ील्ड $L$ एक अपरिवर्तनीय घन बहुपद के $\Kbar$ में विभाजन क्षेत्र है $$ f(X)=X^3+p X+q $$ $p,q\in K$ के साथ।

अब चलो $$ f'(X)=X^3+p' X+ q' $$ एक और घन बहुपद बनें।

प्रश्न 1. $p,q,p',q'$ पर किन परिस्थितियों में गैलोइस समूह $S_3$ के साथ इरेड्यूसेबल क्यूबिक बहुपदों के $\Kbar$ में विभाजन फ़ील्ड करें $$ f(X)=X^3+p संपाती?

प्रश्न 2. इरेड्यूसिबल क्यूबिक बहुपदों के लिए भी यही बात है $$ f(X)=X^3+p गैलोइस समूह $C_3$ (ऑर्डर $3$ का एक चक्रीय समूह) के साथ।

यदि सामान्य क्षेत्र $K$ के लिए कोई संतोषजनक उत्तर नहीं है, तो मुझे उस मामले में उत्तर पाकर खुशी होगी जहां $K $ एक वैश्विक या स्थानीय क्षेत्र है।

ये प्रश्न एमएसई में पूछे गए थे $K={\mathbb Q}$ के लिए। हालाँकि, मेरी राय में वहाँ उत्तर बिल्कुल संतोषजनक नहीं हैं, इसलिए मैं यहां MathOverflow में प्रश्न पूछता हूं।

इस प्रश्न का एक अन्य दृष्टिकोण गैलोइस सिद्धांत (और विशेष रूप से रिसॉल्वेंट बहुपद) के माध्यम से है। निम्नलिखित प्रक्रिया एक सीमित गणना के साथ दोनों प्रश्नों का उत्तर देने के लिए विशेषता शून्य में काम करती है। मान लें कि $f(X)$ और $f'(X)$ $K[X]$ में अपरिवर्तनीय हैं।

$f(X) f'(X)$ का गैलोइस समूह समरूपी है $S_{3} \times S_{3}$ का एक उपसमूह, और इस समूह का एक अद्वितीय सूचकांक $6$ उपसमूह है जिसमें $f(X) f'(X)$ का गैलोइस समूह समाहित है। यह उपसमूह यदि और केवल यदि $f(X)$ और $f'(X)$ के विभाजन क्षेत्र समान हैं। इस उपसमूह के लिए डिग्री $6$ रिसॉल्वेंट की गणना करना संभव है: यह है $$ g(X) = X^{6} - 6pp' ' $$ (यह सर्वविदित हो सकता है, लेकिन मेरे सह-लेखकों और मैंने मैग्मा की मदद से इस पेपर के पृष्ठ 19 पर इस पर काम किया है)।

यदि $f(X)$ और $f'(X )$ का विभाजन क्षेत्र $K$ पर समान है, तो $g(X)$ का मूल $K$ में होगा। इसके विपरीत, यदि $g(X)$ का मूल $K$ में है और $g(X)$ का विभेदक शून्येतर है, तो $f(X)$ और $f'(X)$ के विभाजन क्षेत्र हैं वही।

$g$ का विभेदक शून्य है यदि और केवल यदि निम्न में से कोई एक होता है:

यहां फ्रोबेनियस घनत्व पर आधारित कुछ हद तक क्रूर एल्गोरिदम का एक स्केच है जैसा कि पीटर म्यूएलर में सुझाया गया है टिप्पणी करें, उस स्थिति के लिए जहां $K$, $\mathbb{Q}$ से अधिक चक्रीय घन है (यानी $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) = C_3$।

सबसे पहले, के लिए दो एक्सटेंशन $K,K'$ पर सहमत होने के लिए, यह आवश्यक है कि उनके विभेदक सहमत हों। मुझे यह अच्छा पेपर मिला जो एक प्रस्तुत बहुपद के संदर्भ में एक घन क्षेत्र के विभेदक को निर्धारित करता है, इसलिए यह हो सकता है। किया जाना चाहिए।

अगला, जैसा कि पीटर मुलर की टिप्पणी में है, $K$ और $K'$ सहमत हैं यदि विभेदक को विभाजित नहीं करने वाले सभी तर्कसंगत अभाज्यों का विभाजन व्यवहार किसी भी सीमित संख्या में अभाज्य संख्याओं के लिए समान है ऊपर लिंक किए गए पेपर का उपयोग करके विभाजन व्यवहार का निर्धारण करें, लेकिन अनंत तक विस्तार करने के लिए हमें एक और घटक की आवश्यकता है, अर्थात् आर्टिन पारस्परिकता।

आर्टिन पारस्परिकता आपको (अन्य बातों के अलावा) बताती है कि विभाजन व्यवहार में अभाज्य $\ell$ का $K$ विभेदक $D$ को विभाजित नहीं करता है, केवल $\ell$ mod $D$ के अवशेष वर्ग पर निर्भर करता है। (यह वह जगह है जहां हम उपयोग करते हैं कि $K/\mathbb{Q}$ चक्रीय है!) इसलिए $K$ और $K'$ में प्रत्येक अवशेष वर्ग के एक प्रतिनिधि $\ell$ के विभाजन व्यवहार की तुलना करना पर्याप्त है। (\mathbb{Z}/D)^\times$. इस अंतिम चरण को संभवतः काफी तेज किया जा सकता है, क्योंकि यहां हम वास्तव में जो गणना कर रहे हैं वह एक समरूपता $(\mathbb{Z}/D)^\times \to C_3$ है, इसलिए उदाहरण के लिए अवशेष वर्ग जो पूरी तरह से विभाजित हो जाते हैं, बंद हो जाते हैं गुणन के अंतर्गत।

कुछ टिप्पणियाँ जो एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबी हैं:

ध्यान दें कि आप घन के इस रूप को तभी मान सकते हैं जब $K$ की विशेषता $3$ न हो। इसके अलावा,